高数(理工类-第四版)上册复习练习题答案(8)

故当1 x 时,2arctanx arctan

2x1 x

2

恒成立

29

应用拉格朗日中值定理

证明:对任意实数

x,有2xarctanx ln(1 x)且等号仅当

2

x 0时成立.

证明:令F(x) 2xarctanx ln(1 x),则F(x)可导,且F(0) 0 2

F (x) 2arctanx

2x2x1 x

2

1 x

2

arctanx 当x 0,在[0,x]上用拉格朗日中值定理得F(x) F(0) 2arctan x 0　(0

x)

得F(x) 0

当x 0,在[x,0]上用拉格朗日中值定理得: F(x) f(0) 2arctan x 0　(x 0) 仍有F(x) 0 综上述对一切

x有2xarctanx ln(1 x2

)且仅当x 0时等号成立31 当0 x 1时，证明：e

x

sinx 1

x

2

2

2

令f(x) e

x

sinx (1

x

2

)在[0，1]上连续,　f(0) 0 　f (x) e x

cosx x

　f (x) e

x

sinx 1 sinx (1 e x

)

当0 x 1时　f (x) 0,f (x)在 0,1 上单调减 　　　故f (x) f (0) 0

同理　　f(x) f(0) 0　　即　　e

x

sinx 1

x

2

2

3

32 证明:当0 x

2

时，cosx 1

x

2

2

x

6

.