高数(理工类-第四版)上册复习练习题答案(7)

F (x)

xf (x) f(x)

x

2

令g(x) xf (x) f(x)，在0， 上连续 当x 0时

　　g (x) xf (x) f (x) f (x) xf (x) 0g(x)在0， 上单调增即g(x) g(0) 0

当x 0时　　F (x) 0从而F(x)在(0， )内单调增加

27

设f(x)在[0，a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0) 0,f (x)单调增试证在 0,a 上　af(x) xf(a)令　F(x) F (x)

f(x)

　　(0 x a)

x

xf (x) f(x)

x

2

而f(x) f(x) f(0) xf ( )　0 x 故F (x)

f (x) f ( )

x

0

即F(x)在[0,a]上单调增 当0 x a时F(x) F(a)　　　　　　 af(x) xf(a)

f(x)x

f(a) a

2x1 x

2

28证明恒等式2arctanx arctan 在1 x 时成立.

证:令F(x) 2arctanx arctan则当1 x 时,F(x)可导

21 x21 x

22

2x1 x

2

且F (x) 1 (

21 x

2

12x1 x

2

)

2

2(1 x) 4x

(1 x)

2

2

22

　　　 0

即当x 1时,F(x) C,即F(x) F(3)