高数(理工类-第四版)上册复习练习题答案(13)

y e

cosxdx

sin2xe

cosxdx

dx C

解： e

sinx

2 sinx e

sinx

dsinx C

2sinx 2 Ce

sinx

由初始条件求得C e，所以y 2sinx 2 e1 sinx 求微分方程y (arctany x) 1 y2的通解。 原方程化为

dy1 y

2

dxdy

11 y

2

x

arctany1 y

dy

2

x e

C

arctany1 y

2

e

1 y

2

dy

Ce

arctany

arctany 1

50求微分方程y a2y cosx的通解，其中a为正实数。

特征方程的根为r ai，相应齐次方程的通解为

yC C1cosax C2sinax

1a

2

若a 1，方程有特解为yp

11a

2

cosx，故通解为 cosx

y C1cosax C2sinax

1

若a 1，设特解为yp x(Acosx Bsinx)，代入方程得

yp

x2

sinx，故方程的通解为

x2sinx

x

y C1cosx C2sinx

51求微分方程y 6y 9y 25esinx的通解。

特征方程r2 6r 9 0的根为r1,2 3，相应齐次方程的通解为

yC (C1 C2x)e

x

3x

设特解为yp e(Acosx Bsinx)，代入方程得

A 4,

B 3

3x

x

故方程的通解为

y (C1 C2x)e

e(4cosx 3sinx)