阳光家教数学数论问题解析3(3)

数学数论问题解析3

找寒假家教，到

d n a1 1 a2 1 ak 1 ，

n的一切约数之和等于

pkk 1p11 1p22 1

．

p1 1p2 1pk 1

a

a

a

定义8 对任意实数x， x 是不超过x的最大整数．亦称 x 为x的整数部分，

x x x 1．

定理10 在正整数n!的素因子分解式中，素数p作为因子出现的次数是

n n n

2 3 p p p

p 1

定理11 如果素数p不能整除整数a，则p a 1 ．

p

定理12 设p为素数，对任意的整数a，有a a modp ．

aaa

定理13 设正整数n p1p2 pk.，则不大于n且与n互素的正整数个数 n 为

1

2

k

n n 1

1 1 1

1 1 ． a1 a2 ak

定理14 整系数二元一次方程ax by c存在整数解的充分必要条件是c

a,b ．

定理15 若 x0,y0 是整系数二元一次方程ax by c的一个整数解，则方程的一切整数解可以表示为

x x0 b,t

t Z

y y a.t0

二. 数学竞赛中数论问题的重点类型

主要出现8类问题.：

1.奇数与偶数（奇偶分析法、01法）； 2.约数与倍数、素数与合数； 3.平方数； 4.整除；