阳光家教数学数论问题解析3(5)

数学数论问题解析3

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（2）除法谁除以366，求出商的整数部分.

原式

0 365 366 1 2 3 4 5 175

366

10 366 875

366 143

10 2

366 12.

命题背景2004年有12个月、366天.

例3 1959,IMO1 1 证明对任意正整数n，分数证明1 （反证法）假若

21n 414n 3

21n 414n 3

不可约.

可约，则存在

d 1， ①

使 21n 4,14n 3 d 从而存在p,q, p,q 1，使

21n 4 dp, ②

14n 3 dq, ③

消去n， 3 3 2 2，得

1 d 3q 2p ④ 的 d 1 ⑤

由（1）、（5）矛盾，得d 1.

5

数学数论问题解析3

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解题分析：

（1）去掉反证法的假设与矛盾就是一个正面证法 （2）式④是实质性的进展，表明

1 3 14n 3 2 21n 4 可见 21n 4,14n 3 1. 由此获得2个解法.

证明2 设 21n 4,14n 3 d.存在p,q, p,q 1，使

21n 4 dp, ①

14n 3 dq, ②

消去n，②×3-①×2，得

1 d 3q 2p ③ 得 d 1.

证明3 由1 3 14n 3 2 21n 4 得 21n 4,14n 3 1.

证明4 21n 4,14n 3 7n 1,14n 3 ④ 7n 1, 1 ⑤

1.

解题分析：第④ 相当于 ①-②；：第⑤ 相当于②-2（①-②）=②×3-①×2；所以③式与⑤式的效果是一样的.

例4 （1906，匈牙利）假设a1,a2, ,an是1,2, ,n的某种排列，证明：如果n是奇数，则乘积

a1 1 a2 2 an n 是偶数.

解法1 （反证法）假设 a1 1 a2 2 an n 为奇数，则ai i均为奇数，奇数个奇