阳光家教数学数论问题解析3(11)

数学数论问题解析3

找寒假家教，到

作业2.已知实函数f(x,y)满足

f(x,0) 1, ① f(f(x,y),z) f(z,xy) z. ②

求f(x,y)的表达式.

解 把①代入②，有

f 1,y f

f x,0 ,y f y,0 y 1 y， ③

进而 f x,1 f 1 x 1 ,1

f

f 1, x 1 ,1 （由③）

f 1,1 x 1 1

1 x 1 1

x 1 ④

一方面由④有

f

f x,y ,1 f x,y 1, ⑤ f x,y ,1 f 1,xy 1 1 xy 1. ⑥

另一方面由②、③有

f

由⑤、⑥得

f x,y 1 1 xy 1， 即 f x,y xy 1.

检验知f x,y xy 1为所求.