阳光家教数学数论问题解析3(6)

数学数论问题解析3

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数的和还是奇数

奇数= a1 1 a2 2 an n

a1 a2 an 1 2 n 0，

这与“奇数 偶数”矛盾. 所以 a1 1 a2 2 an n 是偶数.

评析 这个解法说明 a1 1 a2 2 an n 不为偶数是不行的，体现了整体处理的优点，但掩盖了“乘积”为偶数的原因.

解法2 （反证法）假设 a1 1 a2 2 an n 为奇数，则ai i均为奇数，ai与i的奇偶性相反， 1,2, ,n 中奇数与偶数一样多，n为偶数但已知条件n为奇数，矛盾. 所以

a1 1 a2 2 an n 是偶数.

评析 这个解法揭示了 a1 1 a2 2 an n 为偶数的原因是“n为奇数”.那么为什么“n为奇数”时“乘积”就为偶数呢？

解法3 1,2, ,n,a1,a2, ,an中有n 1个奇数，放到n个括号，必有两个奇数在同一个括号，这两个奇数的差为偶数，得 a1 1 a2 2 an n 为偶数.

例4-1（1986，英国）设a1,a2, ,a7是整数，b1,b2, ,b7是它们的一个排列，证明

a1 b1 a2 b2 a7 b7 是偶数.

例4-2 的前24位数字为 3.14159265358979323846264，记a1,a2, ,a24为该24个数字的任一排列，求证 a1 a2 a3 a4 a23 a24 必为偶数.

例5 1979,IMO21 1 设p与q为正整数，满足

pq 1

12 13

11318

11319

，

求证p可被1979整除（1979p）