阳光家教数学数论问题解析3

数学数论问题解析3

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2-4 数学竞赛中的数论问题（09-10-28）

数论是研究自然数的一个数学分支. 一、数学竞赛中数论问题的基本内容 主要有8个定义、15条定理.

定义1 （带余除法）给定整数a,b,b 0,如果有整数q,r 0 r b 满足

，r a qb

则q和r分别称为a除以b的商和余数．特别的，r 0时，则称a被b整除，记作ba，或者说a是b的倍数，而b是a的约数．

定义2 （最小公倍数）非零整数a1,a2, ,an的最小公倍数是能被其中每一个ai 1 i n 所整除的最小正整数，记作 a1,a2, ,an ．

定义3 （最大公约数）设整数a1,a2, ,an中至少有一个不等于零，这n个数的最大公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作 a1,a2, ,an ．

定理1 对任意的正整数，有 a,b a,b ab．

定义4 如果整数a,b 满足 a,b 1，则称a与b是互素的（以前也称为互质）．

定义5 大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称为质

数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．

定理2 素数有无穷多个，2是唯一的偶素数．

定义6 对于整数a,b,c，且c 0，若c(a b)，则称a,b关于模c同余，记a

b(modc)作若则称a,b关于模c不同余，记作

定理3 （整除的性质）设整数（1） 若cb，ba，则ca； （2） 若ca，则bcab；

（3） 若ca，cb，则对任意整数m,n，有cma

nb；

ab(modc)．

a,b,c为非零整数，