阳光家教数学数论问题解析3(10)

数学数论问题解析3

找寒假家教，到

作业1. 设a

1 0,2an 1 3an

n 1,2, ，证明对于an不可能有某一正整数

N，使a2N能被1989整除.（P.185，32）

证明 由已知有

2an 1 2an an

an 2an 0，

得 an 1 an.

又由已知有

2an 1 3an

2

，

2

平方得 an 1 3anan 1 an 1 0， 同理 an 3an 1an an 1 1 0， 这表明an 1,an 1是二次方程

x 3an x an 1 0

2

2

2

2

的两个不等根，得

an 1 an 1 3an， 即 an 1 3an an 1.

若存在某一正整数N，使a2N能被1989整除，则a2N能被3整除，由

a2N 3a2N 1 a2N 2

知a2N 2能被3整除，如此类推，可得a2能被3整除，但

a2

12

3a1 1，

这一矛盾说明，不存在某一正整数N，使a2N能被1989整除.