阳光家教数学数论问题解析3(2)

数学数论问题解析3

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（4） 若 a,b 1，且abc，则ac； （5） 若 a,b 1，且ac,bc，则abc （6） 若a为素数，且abc，则ab或ac． 定理4 （同余的性质）设a,b,c,d,m为整数，m 0, （1） 若a b(modm)且b c(modm)，则a c(modm)；

（2） 若a b(modm)且c d(modm)，则a c b d(modm)且ac bd(modm)．

nn

（3） 若a b(modm)，则对任意的正整数n有a b(modm)，且an bn(modmn)；

（4） 若a b(modm)，且对非零整数k有k(a,b,m)，则

ak

b m

mod ． k k

定理5 设a,b为整数，n为正整数， （1） 若a b，则 a b a b

n

n

；

b

2n2n 1

（2） 若a b，则 a b a（3） 若a b，则 a b a

2n 1

；

2n

b

．

定义7 设n为正整数，且a1 0．若 k为大于2的正整数, a1,a2, ,am是小于k的非负整数， n a1k

m 1

a2k

m 2

am 1k am，

则称数a1a2 am为n的k进制表示．

定理6 给定整数k 2，对任意的正整数n，都有唯一的k进制表示．

定理7 任意一个正整数n与它的十进制表示中的所有数字之和关于模9同余．

定理8 （分解唯一性）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的

n p1p2 pk

a1

a2

ak

.

a1

a2

ak

定理9 若正整数n的素数分解式为 n p1p2 pk,则n的约数的个数为