第 18 页 共 19 页 【答案】（1）2

214

x y +=；（2）21S S

的最小值为3+k 的值为12. 【分析】（1）根据题中条件，由椭圆的性质列出方程组，求出22,a b ，即可得出椭圆方程；

（2）先由（1）得到()0,1A ，()2,0B ，求出直线AB 的方程，根据题意，设()00,E x y ，得()00,F x y --，联立直线()0y kx k =>与椭圆方程，求出00,x y ，再分别记点E ，F 到直线AB 的距离为1d ，2d ，根据点到直线距离公式， 以及三角形面积公式，得到2211

S d S d =，利用基本不等式，即可求出其最小值，以及取最小值时的k 值. 【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()1,e

，且e =e 为椭圆C 的离心率，

所以22222211e a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩

，即2

22222211c a a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩

，解得222143b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为

2

214

x y +=； （2）由（1）可得，()0,1A ，()2,0B ，

所以直线AB 的方程为121

x y +=，即220x y +-=， 由题意，设()00,E x y ()00x >，

因为直线()0y kx k =>与椭圆C 交于E ，F 两点，所以()00,F x y --； 由00220014

y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2220014x k x +=

，则0x =

0y = 分别记点E ，F 到直线AB 的距离为1d ，2d ，

则1d ===，

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因为0k >，所以()(

)2

2

121440k k

k +-+=>

，则102k >+，

因此

1

212k d +

=

同理2

212k d +=

=

，

又AEB △，AFB △的面积分别为1S ，2S ，

所以2

221111

221111221AB d S d k S d A d B ====+=++

211111121

k =+

==+

≥+

=+

+

-3=+

当且仅当214k =，即1

2

k =

（负值舍去）时，等号成立. 故

21S S 的最小值为3+k 的值为12

. 【点睛】思路点睛：

求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，根据韦达定理，以及三角形面积公式表示出三角形的面积，再结合相关知识即可求解三角形面积的最值或面积之比的最值等.