安徽省屯溪一中2014届高三数学上学期期中试题(8)

等价于[g(x1) g(x2)]max M

2

g(x) x3 x2 3，g'(x) 3x2 2x 3x(x ),

3

当x变化时，g(x)和g'(x)的变化情况如下表：

，g(x)max g(2) 1 27

112

[g(x1) g(x2)]max g(x)max g(x)min ，

27

所以满足条件的最大整数M 4。

1a

⑶当x [,2]时，f(x) xlnx 1恒成立，

2x

由上表可知：g(x)min g() 等价于a x x2lnx恒成立。

记h(x) x x2lnx，所以a h(x)max。

3

h'(x) 1 2xlnx x (1 x) 2xlnx，h'(1) 0。

当x [,1)时，1 x 0,xlnx 0，h'(x) 0， 即函数h(x) x x2lnx在区间[,1)上递增， 当x (1,2]时，1 x 0,xlnx 0，h'(x) 0， 即函数h(x) x x2lnx在区间(1,2]上递减，

12

12

当x 1时，函数h(x)取得极大值也是最大值h(1) 1

所以a 1。