第3章 牛顿拉夫逊潮流计算理论分析

3.1 概述

牛顿法收敛性好，迭代次数少，在潮流计算方法中得到广泛的应用，目前为止还没有更好的方法能够完全取代它。 牛顿拉夫逊法（下面简称牛顿法）是数学中求解非线性方程的典型方法，能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。本章将主要针对牛顿法的理论进行具体介绍。

3.2 牛顿法基本原理

牛顿-拉夫逊法是解非线性方程式的有效方法。牛顿拉夫逊法潮流计算是目前最为广泛、效果最好的一种潮流计算方法。这种把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，即逐次线性化过程，这就是牛顿法的核心。我们以如下非线性方程式的求解过程为例来说明：

f(x) 0 （3-1）

设x(0)为该方程式的初值。而真正解x在它的近旁：

x x(0) x(0) （3-2） 式中： x(0)为初始值x(0)的修正量。如果求得 x(0)，则由式（3-2）就可以得到真正解x。 为此将式

f(x(0) x(0)) 0 （3-3）

按泰勒级数展开

(0)2(0)n

))(0)(0)(0)'(0)(0)''(0)( x(n)(n)(0)( xf(x x) f(x) f(x) x f(x) ( 1)f(x) 02!n! （3-4）

当我们选择的初始值比较好，即 x(0)很小时，式（3-4）中包含的( x(0))2和更高阶次项可以略去不计。因此，式（3-4）可以简化为

f(x(0)) f'(x(0)) x(0) 0 （3-5）

这是对于变量 x(0)的形式方程式，用它可以求出修正量 x(0)。

由于式（3-5）是式（3-4）的简化结果，所以由式（3-5）解出 x(0)后，还不能得到方程式（3-1）的真正解。实际上，用 x(0)对x(0)修正后得到的x(1)：

x(1) x(0) x(0) （3-6） 只是向真正解更逼近一些。现在如果再以作为初值x(1)，解式（3-5） f(x(1)) f'(x(1)) x(1) 0 就能得到更趋近真正解的x(2)：

x(2) x(1) x(1) （3-7）

这样反复下去，就构成了不断求解非线性方程式的逐次线性化过程。第t次迭代

时的参数方程为