06-11年四川高考数列题集锦(6)

（10年）已知数列 an 满足a1 0,a2

且对任意m,n N*都有a2m 1 a2n 1 2m n 1 2(m n) 2，

2

（Ⅰ）求a3,a5； （Ⅱ）设bn a2n 1 a2n 1 (n N*)证明： bn 是等差数列； （Ⅲ）设cn (a2n 1 a2n 1 qn 1 (q 0,n N*)，求数列 cn 的前n项和Sn.

本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意，令m 2,n 1可得a3 2a2 a1 2 6. 再令m 3,n 1可得a5 2a3 a1 8 20.………………（2分）

当n N*时,由已知(以n 2代替m)可得

（Ⅱ）a2n 1 a2n 1 2a2n 1 8

于是[a2(n 1) 1 a2(n 1) 1] (a2n 1 a2n 1) 8即

bn 1 bn 8.

所以，数列 bn 是公差为8的等差数列.………………（5分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知 bn 是首项b1 a3 a1 6,公差为8的等差数列.

则bn 8n 2,即

a2n 1 a2n 1 8n 2.

另由已知（令m 1)可得，

a2n 1 an

2

an

(n 1)

3

那么，an 1 an

a2n 1 a2n 1

2

8n 22

2n 1

2n 1

2n

n 1

于是，cn 2nq

当q 1时,Sn 2 4 6 2n n(n 1).

642n 1

当q 1时,Sn 2 q 4 q 6 q 2n q

两边同乘q可得

qS

n

2 q 4 q 6 q 2(n 1) q

222n 1

2n q.

n