06-11年四川高考数列题集锦(2)

解：（Ⅰ）由题可得f

'

x 2x

'

所以过曲线上点 x0,f x0 的切线方程为y f xn f即y xn 4 2xn x xn

xn x xn ，

令y 0，得 xn2 4 2xn xn 1 xn ，即xn2 4 2xnxn 1 显然xn 0 ∴xn 1

xn2 2xn

（Ⅱ）证明：（必要性）

若对一切正整数n,xn 1 xn，则x2 x1，即

x12 2x1

x1，而x1 0，∴x1 4，即有x1 2

2

（充分性）若x1 2 0，由xn 1

xn2

2xn

用数学归纳法易得xn

0，从而xn 1

xn2

2xn

2xn

2 n 1 ，即xn 2 n 2

4 xn2xn

2

又x1 2 ∴xn 2 n 2 于是xn 1 xn

xn2

xn

2 xn 2

2xn

xn

0，

即xn 1 xn对一切正整数n成立

xn2

2xn

2

（Ⅲ）由xn 1

，知xn 1 2

xn 2

2xn

2

，同理，xn 1 2

xn 2

2xn

2

故

xn 1 2xn 1 x 2 xn 1 2xn 2

n 从而，即an 1 2an lg 2lg 2 xn 2 xn 1 2xn 2

n 1

所以，数列 an 成等比数列，故an 2

a1 2

n 1

lg

x1 2x1 2

2

n 1

lg3，

即lg

xn 2xn 2

2

n 1

lg3， 从而

xn 2xn 2

3

2n 1

所以xn

2 33

2n 1

1

2n 1

1

（08年）设数列 an 的前n项和为Sn，已知ban 2n b 1 Sn

（Ⅰ）证明：当b 2时， an n 2n 1 是等比数列； （Ⅱ）求 an 的通项公式

【点评】：此题重点考察数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考察分类讨论思想； 【突破】：推移脚标两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而