黄埭中学天天练46~49答案(7)

1

列 x为调和数列且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.答案 20 n

→

（3）设数列{an}满足a1＋2a2＝3，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有PnPn＋1＝(1,2)，则数4

列{an}的前n项和Sn＝________.答案 n(n－)

3

x 2－1， x≤0，

（4）已知函数f(x)＝ 把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序

f x－1 ＋1， x>0，

排列成一个数列，则该数列的通项公式为______________．答案 an＝n－1，n∈N*

S

2.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝n＋2(n－1) (n∈N*)．

(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；

SSS(2)是否存在自然数n，使得S1＋－(n－1)2＝2 013？若存在，求出n的值；

23n若不存在，请说明理由．

S解 (1)由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1) (n∈N*)．

n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)， 即an－an－1＝4，

故数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列．

a1＋an n

于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n (n∈N*)．

2S(2)由Sn＝nan－2n(n－1)，得2n－1 (n∈N*)，

n

SSS又S1＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n

23n－1.

令2n－1＝2 013，得n＝1 007， 即存在满足条件的自然数n＝1 007.

3.已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式；

1＋

(2)若bn＝anlogn，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n1>50成立的最小正整数n的值．

2解 (1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，…，其中a1≠0，q≠0. 由题意知：a1q＋a1q2＋a1q3＝28，① a1q＋a1q3＝2(a1q2＋2)．②

②×7－①得6a1q3－15a1q2＋6a1q＝0，

1

即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q.

2

∵等比数列{an}单调递增，∴a1＝2，q＝2，∴an＝2n. (2)由(1)得bn＝－n·2n，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)． 设Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，③ 则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n1.④

＋

由③－④，得－Tn＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n·2n1

＋