青岛市2015届高三一模_数学(理)(5)

故sin C sin(A B) sin Acos B cos Asin B 所以

ABC的面积为S

…………………10分 1 ……………………………12分 absin C

2

17．（本小题满分12分）

3解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为C20，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法111111111111数为C4 ……………………4分 C6 C4 C4 C6 C6 C4 C4 C6 C6 C4 C6

111111111111

C4 C6 C4 C4 C6 C6 C4 C4 C6 C6 C4 C68

所以P …………………6分 3

C2019

（Ⅱ） 可能的取值为0,1,2,3

321

C16C16C5 7 16288 15 48

P( 0) 3 ,P( 1) 34 ,

C203 20 1957C203 20 1919

123C16C4C416 6841

…………10分 P( 2) 3 ,P( 3) 3

C203 20 1995C203 20 19285

所以 的分布列为

所以E( )

2888157 0 1 2 3 ……………………………………12分 57199528595

18．（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G， 因为ABCD A1B1C1D1为四棱柱， 所以四边形ADD1A1为平行四边形， 所以G为A1D的中点，

又E1为 A1B1中点，所以E1G为 A1B1D的中位线， 从而B1D//E1G ……………………………………4分

又因为B1D 平面AD1E1，E1G 平面AD1E1，

所以B1D//平面AD1E1． …………………………5分

（Ⅱ）因为AA1 底面ABCD，AB 面ABCD，AD 面ABCD，

所以AA1 AB,AA1 AD,又 BAD 90，所以AB,AD,AA1两两垂直. ……………6分

如图，以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设

AB t，则A 0,0,0 ，B t,0,0 ，C t,1,0 ，D 0,3,0 ，C1 t,1,3 ，D1 0,3,3 .

从而AC (t,1,0)，BD ( t,3,0).

2

因为AC BD，所以AC

BD t 3 0 0，解得t ……………………8分

所以AD1 (0,3,3)，AC ,0).

1 y1 0 AC n1 0,设n1

(x1,y1,z1)是平面ACD1的一个法向量，则 即

3y1 3z1 0

AD1 n1 0.

令

x1 1，则n1 (1,. …………………………………………………………9分

又CC1 (0,0,3)，CD (.

z2 0 CC1 n2 0,

设n2 (x2,y2

,z2)是平面CDD1C1的一个法向量，则 即

2y 0 22 CD

n2 0.

令x

2

1，则n2 (1

).

………………………………………………………10分

|1 1 ( 0|n1 n2

1 cos n1,n2

7n1 n2

1

平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值. ……………………………12分

7

19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，

10 9

d 100 2

解得a1 1,d 2，所以an 2n 1 ………………………………………………………3分

则a10 a1 9d 19,S10 10a1 所以b1 b2 b3

bn 1 bn 2n 1 …… ①

当n 1时,b1 3

当n 2时,b1 b2 b3bn 1 2n 1……②

①②两式相除得bn

2n 1

(n 2) 2n 1

因为当n 1时,b1 3适合上式，所以bn

2n 1

(n N )………………………………6分 2n 1