成都七中高一下数学半期考试试题及详解(6)

高一下期数学半期考试试题及答案

b3 a(2a a 1) ……6分

42

故[a(2a 1)] 2a a(2a a 1)，解得a 再将a

12

32242

12

， ……………………7分

代入得bn ()n成立，所以a

21

112

． …………8分

（III）由（Ⅱ）知bn ()n，

2

所以cn (3n 2) 2

Tn 5 2 8 2

2Tn 5 2

2

n

11 2 8 2

3

3

(3n 2) 2 (3n 1) 2

n

n

2

(3n 2) 2

n 1

Tn (3n 1) 2

n 1

2………13分21.（14分）古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（n N*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题： （I）求a1，a2，a3，并写出an的一个递推关系； （II）记bn（提示：Sn

an 1，求和Sn

1 i j n

bibj

（i，j

2

2

N*）；

2

2

1 i j n

bibj S1S2

12

[(b1 b2 bn) (b1 b2 bn)]

S1 S3 S2n 1S2 S4 S2n

421

）

（III）证明：解：(1)

17

S1 S3S2 S4

(n N*)．

a1 1，a2 3，a3 7

………2分

事实上，要将n个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面n 1个圆盘转移到B柱上，需要an 1次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将B柱上的n 1个圆盘转移到C柱上，需要an 1次转移，所以有an

2an 1 1

………4分