成都七中高一下数学半期考试试题及详解(6)

时间:2025-07-12

高一下期数学半期考试试题及答案

b3 a(2a a 1) ……6分

42

故[a(2a 1)] 2a a(2a a 1),解得a 再将a

12

32242

12

, ……………………7分

代入得bn ()n成立,所以a

21

112

. …………8分

(III)由(Ⅱ)知bn ()n,

2

所以cn (3n 2) 2

Tn 5 2 8 2

2Tn 5 2

2

n

11 2 8 2

3

3

(3n 2) 2 (3n 1) 2

n

n

2

(3n 2) 2

n 1

Tn (3n 1) 2

n 1

2………13分21.(14分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有n(n N*)个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在A柱上,现要将套在A柱上的盘换到C柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子A、B、C可供使用.

现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数,回答下列问题: (I)求a1,a2,a3,并写出an的一个递推关系; (II)记bn(提示:Sn

an 1,求和Sn

1 i j n

bibj

(i,j

2

2

N*);

2

2

1 i j n

bibj S1S2

12

[(b1 b2 bn) (b1 b2 bn)]

S1 S3 S2n 1S2 S4 S2n

421

(III)证明:解:(1)

17

S1 S3S2 S4

(n N*).

a1 1,a2 3,a3 7

………2分

事实上,要将n个圆盘全部转移到C柱上,只需先将上面n 1个圆盘转移到B柱上,需要an 1次转移,然后将最大的那个圆盘转移到C柱上,需要一次转移,再将B柱上的n 1个圆盘转移到C柱上,需要an 1次转移,所以有an

2an 1 1

………4分

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