成都七中高一下数学半期考试试题及详解(6)
时间:2025-07-12
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高一下期数学半期考试试题及答案
b3 a(2a a 1) ……6分
42
故[a(2a 1)] 2a a(2a a 1),解得a 再将a
12
32242
12
, ……………………7分
代入得bn ()n成立,所以a
21
112
. …………8分
(III)由(Ⅱ)知bn ()n,
2
所以cn (3n 2) 2
Tn 5 2 8 2
2Tn 5 2
2
n
11 2 8 2
3
3
(3n 2) 2 (3n 1) 2
n
n
2
(3n 2) 2
n 1
Tn (3n 1) 2
n 1
2………13分21.(14分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有n(n N*)个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在A柱上,现要将套在A柱上的盘换到C柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子A、B、C可供使用.
现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数,回答下列问题: (I)求a1,a2,a3,并写出an的一个递推关系; (II)记bn(提示:Sn
an 1,求和Sn
1 i j n
bibj
(i,j
2
2
N*);
2
2
1 i j n
bibj S1S2
12
[(b1 b2 bn) (b1 b2 bn)]
S1 S3 S2n 1S2 S4 S2n
421
)
(III)证明:解:(1)
17
S1 S3S2 S4
(n N*).
a1 1,a2 3,a3 7
………2分
事实上,要将n个圆盘全部转移到C柱上,只需先将上面n 1个圆盘转移到B柱上,需要an 1次转移,然后将最大的那个圆盘转移到C柱上,需要一次转移,再将B柱上的n 1个圆盘转移到C柱上,需要an 1次转移,所以有an
2an 1 1
………4分
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