第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)(8)

多元函数微分法及其应用习题

(4) 如图9.50,当0≤z≤π(2Rz z2); 当

R

时,

面积是 2

R

≤z≤R时,

,面积是π(R2 z2). 故 2

22

∫∫∫zdxdydz=∫zdz∫∫dxdy

R

Ω

Dz

=π∫z2(2Rz z2)dz+π∫Rz2(R2 z2)dz

2

RR

=

59

πR5. 480

(5) 如图9.51, 利用柱面坐标, 故

∫∫∫ydv

Ω

=∫

π

23 ρ2

2dθdρ00 1

∫∫

ρsinθ ρdz ρsinθ ρdz

+∫=∫

π

2 1

2dθdρ00 5+ρ2

∫∫

π

2

2dθ00

∫

ρ(4 ρ)sinθdρ

ρ2(4 ρ2)sinθdρ

22

+∫

π

2

2dθ00

∫

128=. 15(6) 利用柱面坐标计算,

∫∫∫zdv=∫

Ω

2π0

dθ∫dρ∫z ρdz+

1

14

∫0

2π

dθ∫dρ∫

1

24

ρ2

z ρdz

=∫

2π0

dθ∫

1150

2

ρdρ+∫

2π0

dθ∫

2

1

1

(16 ρ4)ρdρ=21π. 2

(7) 利用柱面坐标计算,

∫∫∫

Ω

v=∫dθ∫ρ2dρ∫2dy=

2π24

ρ

128

π. 15

8