第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)(2)

多元函数微分法及其应用习题

因此

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫ 1dx∫Ω

1y∫

2 x2x2+2y2

f(x,y,z)dz.

2. 如果三重积分∫∫∫f(x,y,z)dv的被积函数f(x,y,z)是三个函数f1(x)、f2(y)、

Ω

f3(z)的乘积,即f(x,y,z)=f1(x) f2(y) f3(z),积分区域Ω是长方体:Ω={(x,y)a≤x ≤b,c≤y≤d,l≤z≤m}, 证明这个三重积分等于三个定积分的乘积, 即

∫∫∫

Ω

f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz=∫f1(x)dx ∫f2(y)dy ∫f3(z)dz.

a

c

l

bdm

证

∫∫∫f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz

Ωb

d

m

a

c

l

=∫[∫(∫f1(x)f2(y)f3(z)dz)dy]dx =∫[∫(f1(x)f2(y) ∫f3(z)dz)dy]dx

a

c

l

b

d

m

=∫[(∫f3(z)dz) (∫f1(x)f2(y)dy)]dx

a

l

c

bmd

=(∫f3(z)dz) ∫[f1(x) ∫f2(y)dy]dx

l

a

c

mbd

=∫f3(z)dz ∫f2(y)dy ∫f1(x)dx

l

c

a

mdb

=∫f1(x)dx ∫f2(y)dy ∫f3(z)dz.

a

c

l

bdm

3． 计算下列三重积分

(1) ∫∫∫xydxdydz, 其中Ω是由曲面z=xy, 平面z=0,x+y=1围成的闭区域;

Ω

(2) ∫∫∫

Ω

dv

, 其中Ω是由平面x+y+z=1和三个坐标面所围成的四

(1+x+y+z)2

面体;

(3) ∫∫∫xyzdxdydz, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=1与三个坐标面所围成的第

Ω

一卦限内的闭区域;

(4) ∫∫∫ycos(x+z)dv, 其中Ω

是由抛物柱面y=及平面y=0,z=0和x+z

Ω

2