第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)(4)

多元函数微分法及其应用习题

2h222 z=2(x+y),

(5) 法1 不妨设h>0, 如图9.43所示. 由 消去z, 得 a

z=h x2+y2=a2, 故Ω在xOy面上的投影区域

Dxy={(x,y)x2+y2≤a2},

故Ω={(x,y,z≤z≤h,(x,y)∈Dxy}

因此

+y2)

∫∫∫zdv=

Ω

Dxy

∫∫dxdyhzdz

图9.43

1h222

=∫∫[h (x+y2)]dxdy

2Daxy

12h2=[h∫∫dxdy 22Da

xy

h2h22

∫∫(x+y)]dxdy]=2 πa 2a2Dxy

2

2

∫0

2π

dθ∫ρ3dρ=

a

122πah. 4

法2 用过点(0,0,z)且平行于xOy面的平面截Ω得平面圆域Dz,

其半径为

azπa22

=, 面积为2z, Ω={(x,y,z)(x,y)∈Dz,0≤z≤h}, 于是

hh

∫∫∫zdv=∫0zdz∫∫dxdy=∫0

Ω

hh

Dz

πa221

z zdz=πa2h2.

4h

4. 设积分区域Ω

是由曲面z=

,z=与平面x=0,y=0 围成的位于第一卦限内的闭区域, 试将三重积分∫∫∫f(x2+y2+z2)dv分别表示为直

Ω

角坐标, 柱面坐标和球面坐标系中的三次积分.

解 如图9.44, 在直角坐标系中,Ω可表示为

z=

≤z≤

0≤y≤

0≤x≤4

故

∫∫∫f(x

Ω

2

+y2+z2)dv