第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)(3)

多元函数微分法及其应用习题

=

π

围成的闭区域; 2

h22

(5) ∫∫∫zdv, 其中Ω是由圆锥面z=(x+y2)与平面z=h围成的闭区域.

aΩ

2

解 (1) 由1.(3)知, d∫∫∫xyxdydz=∫dx∫

Ω

11 x0

dy∫

xy0

xydz=∫dx∫

11 x0

x2y2dy

=∫

1x0

2

(1 x)31

. dx=

3180

(2) Ω={(x,y,z)0≤z≤1 x y,0≤y≤1 x,0≤x≤1} (如图9.42), 故

11 x1 x dv=ddxy∫∫∫(1+x+y+z)2

∫0∫0∫0Ω

=∫dx∫

11 x0

11

y (

1+x+y2

11

=∫(ln2 (1 x) ln(1+x))dx 02

3

= ln2. 4

(3) 区域Ω={(x,y,z)0≤z≤≤y≤≤x≤1}, 故

∫∫∫xyzdxdydz=∫0xdx∫0

Ω1

1ydy0

dz

1 x2 y2y =∫xdx∫dy

002111=∫x(1 x2)2dx=. 8048(4) Ω={(x,y,z)0≤z≤

ππ

x,0≤y≤0≤x≤, 故 22

∫∫∫ycos(x+z)dv=∫

Ω

ππ

x

2dxy2000

∫∫

ycos(x+z)dz

=∫

π

2dxy00

∫-ysinx)dy=∫

π

20

x(1 sinx)π21

dx= . 2162

3