第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)(6)

多元函数微分法及其应用习题

所围闭区域.

解 (1) 球面坐标系中, 球面x2+y2+z2=2az的方程为r=2acos , 于是Ω 可表示为:0≤r≤2acos , 0≤ ≤

π

, 0≤θ≤2π, 故

2

Ω

=∫

2π0

dθ∫

π

2acos

2d 00

∫

12

rsin dr r

=∫

2π02π

dθ∫

π

22a2cos2 sin d 0

2a24πa2

dθ=. =∫033

(2) 如图9.46, 在球面坐标系中, Ω可表示为:

0≤r≤R, 0≤ ≤

2

2

π

, 0≤θ≤2π, 6

322z)dv

z=故

∫∫∫sin(x

Ω

+y+

=∫=∫

2π02π

dθ∫dθ∫

π

R

6d sinr300

∫

r2sin dr

1

sin (1 cosR3)d

032π1π

(1 cosR3)dθ=(2 cosR3). =∫0323

7. 选用适当的坐标计算下列三重积分

(1) ∫∫∫xy2z3dxdydz, 其中Ω是由曲面z=xy, 平面y=x, x=1,z=0围成的

Ω

π60

闭区域;

(2) ∫∫∫

Ω

dv

, 其中Ω是由圆锥面x2+y2=z2与平面z=1围成的闭区域; 22

1+x+y

(3) ∫∫∫(x2+y2)dv, 其中Ω=(x,y,z)a2≤x2+y2+z2≤b2,z≥0;

Ω

{}

(4) ∫∫∫z2dxdydz, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=R2与x2+y2+z2=2Rz

Ω

(R>0)围成的闭区域;

6