第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)

多元函数微分法及其应用习题

第三节 三重积分的计算

习题 9-3

1. 化三重积分I=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为直角坐标系中的三次积分, 其中积分区

Ω

域Ω分别是:

(1) Ω={(x,y,z)0≤x≤2,1≤y≤3,0≤z≤2};

(2)

由锥面z=与平面z=1围成的闭区域;

(3) 由双曲抛物面z=xy及平面x+y=1,z=0围成的闭区域; (4) 由曲面z=x2+2y2及z=2 x2围成的闭区域. 解 (1) 易知∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫dyf(x,y,z)dz.

01

Ω

(2) 如图9.40, 区域Ω在xOy面上的投影

区域是圆域x+y≤1, 故

2

2

2

3

2

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz

Ω

=∫dx∫

1

1y1f(x,y,z)dz.

(3) Ω的顶z=xy和底面z=0的交线为x区域由x轴,y轴和直线x+y=1所围成. 于是Ω可用不等式表示为:0≤z≤xy, 0≤y≤1 x, 0≤x≤1, 因此

∫∫∫

Ω

f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫

11 x0

dy∫

xy0

f(x,y,z)dz.

22 z=x+2y,

(4) 如图9.41, 由

2

z=2 x

得x+y=1, 故区域Ω在xOy区域是圆域x2+y2≤1, 于是Ω示为:

22

x2+2y2≤z≤2 x2, ≤y≤

1