第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)(7)

多元函数微分法及其应用习题

(5) ∫∫∫ydv, 其中Ω是由曲面z=3 x2 y2与z= 5+x2+y2以及平面x=0,

Ω

y=0围成的位于第一及第五卦限的闭区域;

(6) ∫∫∫zdv, 其中Ω=(x,y,z)x2+y2≤z,1≤z≤4;

Ω

{}

(7)

Ω

v, 其中Ω是由曲面y=x2+z2与平面y=4围城的闭区域.

解 (1) 如图9.47, 用直角坐标,

232

∫∫∫xyzdxdydz=∫xdx∫ydy∫

1

x

xy30

Ω

00

zdz=

x611511121dddxxyy=xx=. ∫0

4∫028∫0364

z

(2) 如图

, 易知

2π112π1dv1ρ1d

ddd(=θρ ρz=θ+∫∫∫1+x2+y2∫0∫0∫ρ1+ρ2∫0∫01+ρ21+ρ2 1)dρ

Ω

=∫

2π0

1ππ(ln2+ 1)dθ=π(ln2 2+. 242

π

, 0≤θ≤2π, 2

(3) 如图9.49, 在球面坐标系下,Ω可表示为

a≤r≤b, 0≤ ≤

∫∫∫(x

Ω

2

+y)dv=∫

=2

2π0

dθ∫

π

b2

2d r

a0

∫

sin2 r2sin dr

2π

dθπ2154π5(b a5)sin3 d =(b a5). 7