第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)(5)

多元函数微分法及其应用习题

=∫

x∫

yf(x2+y2+z2)dz,

π

, 于是

2

在柱面坐标系下,Ω

可表示为ρ≤z≤

, 0≤ρ≤, 0≤θ≤

2

2

2

π

2dθρ

ρ00

∫∫∫f(x

Ω

+y+z)dv=∫∫f(ρ2+z2)ρdz,

在球面坐标下,Ω可表示为0≤r≤2, 0≤ ≤

2

2

2

ππ

2

2dθ4d 000

ππ

, 0≤θ≤,于是 42

∫∫∫

Ω

f(x+y+z)dv=∫∫∫

f(r2)r2sin dr.

5. 利用柱面坐标计算下列三重积分

(1) ∫∫∫(x+y+z)dv, 其中Ω

是由圆锥面z=1 与平面z=0围成的闭

Ω

区域;

(2) ∫∫∫v, 其中Ω

是由柱面y=z=0,z=1及y=0

Ω

围成的闭区域.

解 (1) Ω可表示为0≤z≤1 ρ, 0≤ρ≤1, 0≤θ≤2π, 故

∫∫∫(x+y+z)dv=∫

Ω

2π0

dθ∫dρ∫

11 ρ0

(ρ(sinθ+cosθ)+z)ρdz=

π. 12

(2) 如图9.45,Ω可表示为0≤z≤1, 0≤ρ≤2cosθ, 0≤θ≤

π

, 故

2

∫∫∫Ω

v;

=∫=∫

π

2cosθ

2dθ00

∫dρ∫(zρ)ρdz

1

483

cosd=. θθ∫239

6. 利用球面坐标计算下列三重积分

dρ=∫

(1) Ω

π

2cosθ

2dθ00

ρ2

π

20

2

2

, 其中Ω是由x2+y2+z2=2az围成的闭区域(a>0);

(2) ∫∫∫sin(x+y+

Ω

322z)dv

, 其中Ω

是由曲面z=, z=

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