因动点产生的直角三角形问题

例1 2013年山西省中考第26题

如图1，抛物线y

123

，与y轴x x 4与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧）

42

交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个

动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．

请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．

思路点拨

1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．

2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答