例6 2009年嘉兴市中考第24题

如图1，已知A、B是线段MN上的两点，MN 4，MA 1，MB 1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB x．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B在AN上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值．

思路点拨

1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．

2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．

3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．

满分解答

（1）在△ABC中，AC 1，AB x，BC 3 x，所以

1 x 3 x,

解得1 x 2．

1 3 x x.

（2）①若AC为斜边，则1 x2 (3 x)2，即x2 3x 4 0，此方程无实根． ②若AB为斜边，则x2 (3 x)2 1，解得x

5

，满足1 x 2． 3