③若BC为斜边，则(3 x)2 1 x2，解得x 因此当x

4

，满足1 x 2． 3

54

或x 时，△ABC是直角三角形． 33

1

xh． 2

（3）在△ABC中，作CD AB于D，设CD h，△ABC的面积为S，则S

①如图2，若点D在线段AB上，则 h2 (3 x)2 h2 x．移项，得

(3 x)2 h2 x h2．两边平方，得(3 x)2 h2 x2 2x h2 1 h2．整理，

得x h2 3x 4．两边平方，得x2(1 h2) 9x2 24x 16．整理，得x2h2 8x2 24x 16

所以S2

412231

． xh 2x2 6x 4 2(x )2 （≤x 2）

4223

当x

4213

时（满足≤x 2），S2取最大值，从而S取最大值．

2223

图2 图3

②如图3，若点D在线段MA上，则(3 x)2 h2 h2 x． 同理可得，S2 易知此时S

412231

． xh 2x2 6x 4 2(x )2 （1 x≤）

4223

2． 2

2． 2

综合①②得，△ABC的最大面积为

考点伸展

第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设AD a， 例如在图2中，由AC2 AD2 BC2 BD2列方程1 a (3 x) (x a)． 整理，得a

2

2

2

3x 4

．所以 x