cfxrqe高_考二轮复习数学学案(17)推理与证明

① 当n 1时,左边=

33

,右边

因为 ,所以不等式成立. 22

② 假设当n k时不等式成立,

即

b 13572k 1b1 1b2 1

····k .b1b2bk2462k

则当n k 1时,左边=

b 1bk 1 1357b1 1b2 12k 12k 3

····k

b1b2bkbk 12462k2k 2

2k 3 2k 2所以当n k 1时,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

点评:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 7.创新性问题

例9（2007北京理)（本小题共13分）已知集合A a1，a2， ，ak (k≥2)，其中

ai Z(i 1，2， ，k)，由A中的元素构成两个相应的集合：

S (a，b)a A，b A，a b A ，T (a，b)a A，b A，a b A ．

其中(a，b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n． 若对于任意的a A，总有 a A，则称集合A具有性质P．

（I）检验集合 01，2，3 是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应，，2，3 与 1的集合S和T；

（II）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤

k(k 1)

； 2

（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

（I）解：集合 01，，2，3 不具有性质P．

集合 1，2，3 具有性质P，其相应的集合S和T是S ( 13)，，，(3 1) ，

T (2， 1)，， 23 ．

（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对(ai，aj)共有k个． 因为0 A，所以(ai，ai) T(i 1，2， ，k)；

又因为当a A时， a A时， a A，所以当(ai，aj) T时，

2

(aj，ai )Ti，(j ，， 1，2k．

从而，集合T中元素的个数最多为即n≤

12k(k 1)

(k k) ， 22

k(k 1)

． 2

（III）解：m n，证明如下：

（1）对于(a，b) S，根据定义，a A，b A，且a b A，从而(a b，b) T． 如果(a，b)与(c，d)是S的不同元素，那么a c与b d中至少有一个不成立，从而