上交大高数期中考

lim

x 0

f(x) 1f(x) 1xf(x) 1xf(x) 1

lim limlim lim 2

x 0x sinxx 0x sinxx 0xx sinxx 0x2x

lim(f(x) 1) 0 f(0) 1

x 0

f'(0) lim

x 0

f(x) f(0)f(x) 1

lim 2 4 x 0x2x

e2x

) 4、 计算极限：lim(cotx

x 0sinx

cosx e2xcosx 1 1 e2xcosx 1e2x 1

lim lim( ) 解：原式 lim

x 0x 0x 0sinxxxx

1

x2

cosx 1e 12x

li li li li 0 2 2

x 0x 0x 0x 0xxxx

2x

四、（本题8分）．

证明：在极坐标系中的两个圆 acos 与 bsin 在交点处正交（在交点处切线垂直），其中a,b为给定的正数。

x acos2 ,解：圆L1： acos 的参数方程为 ，

y acos sin

x bsin cos ,

圆L2： bsin 的参数方程为 。 2

y bsin

设两圆相交于点M，M点对应的参数为 0，则圆L1在M点的切线斜率：

a( sin2 0 cos2 0)cos2 0dy

k1

dx 0 2acos 0sin 0sin2 0

圆L2在M点的切线斜率：

k2

2bsin 0cos 0sin2 0dy

， 22

dx 0b(cos 0 sin 0)cos2 0

cos2 0sin2 0

1，

sin2 0cos2 0

于是 k1k2 从而证得两圆正交。