上交大高数期中考

五、（本题8分）

设函数f(x)可导，且f'(x) 0，函数x (y)是函数y f(x)的反函数，且f(2) 3 , g(x) [

12

f(2 5x)]，求f'(2) g'(3)和g'(0)。 3

解：由条件函数f(x)可导，且f'(x) 0，根据反函数求导法则知x (y)可导，且 '(y)

1

. f '(x)

所以 f'(2) g'(3) 1 利用复合函数求导法则

12

g'(x) '[f2(2 5x)] f(2 5x) f'(2 5x) ( 5)

33101

'[f2(2 5x)] f(2 5x) f'(2 5x)

33

令x 0，得

101210

g'(0) '[f(2)] f(2) f'(2) '(3) 3 f'(2) 10。

333

六、（本题8分）

设f x a1sinx a2sin2x ansinnx，且 f(x) sinx， 试证明： a1 2a2 nan 1 解： 由 f(x) sinx，得

f(x)

1,x 0,x 。 sinx2f(x)

1. sinx

两边取极限，有 lim

x 0

lim

x 0

asinx a2sin2x ansinnxf(x)f(x)

lim lim1

x 0x 0sinxsinxx

lim(a1

x 0

sinxsin2xsinnx

a2 an)xxx