上交大高数期中考

1

1

6、在区间( . )内方程 x

4

x2

cosx 0 （ ）

（A）有且仅有一个实根 （B）有且仅有两个实根 （C）有无穷多个实根 （D）无实根 解：(B) 三．（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1

11、计算极限：lim2

n

n 1

n

n(10 10

)

1111ln10解： limn2

(10nn 1

) limn 1

n(n 1)

n(n 1)

n

10

n

n210

(10

1) limn

n2(e

1)

ln10 limn2(n(n 1)

ln10

n

e

1) limn

n2

n(n 1)

ln10

ln(1 x3) ,2、设f(x)

x 0

x2sin1

x ,x 0，求f'(x) 解：在x 0处：f '(0) f(x) f(0)xlim 0

x f1

'(0) xlim 0

xsinx

0 f(x) f(0)ln(1 x3) x3

f '(0) xlim 0 x xlim 0 x xlim 0

x

0 所以f(x)在x 0处可导，且 f'(0) 0。

当x 0时，f'(x) (x2

sin1)' 2xsin

1xx cos1x

当x 0时，f'(x) (ln(3

3x2

1 x))'1 x

3

3x2

,x 所以 f'(x) x3 10

2xsi1x co1 x,x 0

3、设f(x)在x 0处连续，且lim

f(x) 1

x 0

x sinx

2，计算f'(0).

解：由f(x)在x 0处连续，且