【专题】导数的综合应用．

【分析】（1）由已知得x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程．

（2）由f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[a，2a]上的最小值．

（3）记h（x）=f（x）﹣（k﹣1）x+k=xlnx﹣（k﹣1）x+k，x＞1，则h′（x）=lnx+2﹣k，x＞1，由此利用导数性质能求出k的最大值． 【解答】解：（1）∵f（x）=x lnx， ∴x＞0，f′（x）=lnx+1， ∵f（e）=e，f′（e）=2，

∴y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e， 即y=2x﹣e．

（2）∵f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=， 当x∈（0，）时，F′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（

）时，F′（x）＞0，f（x）单调递增，

当a≥时，f（x）在[a，2a]单调递增，[f（x）]min=f（a）=alna， 当

时，a＜

，[f（x）]min=f（）=﹣．

（3）记h（x）=f（x）﹣（k﹣1）x+k=xlnx﹣（k﹣1）x+k，x＞1， 则h′（x）=lnx+2﹣k，x＞1，

当k≤2且k∈Z时，h（x）在x∈（1，+∞）上为增函数， ∴h（x）＞h（1）=1＞0，符合．

当k=3时，由f（x）＞（k﹣1）x﹣k，得x lnx﹣2x+3＞0对任意x＞1恒成立， 设F（x）=x lnx﹣2x+3，则F′（x）=lnx﹣1，

由F′（x）=0，得x=e，当x∈（0，e）时，F′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0， ∴F（x）＞F（e）＞0，符合．

当k≥4且k∈Z时，h（x）在x∈（1，ek﹣2）上为减函数，在x∈[ek﹣2，+∞）上为增函数， ∵k≥4，∴k﹣2≥2，∴2∈（1，ek﹣2]， ∴h（2）=2ln2+2﹣k＜2+2﹣k≤0，不符合． 综上，k≤3且k∈Z，∴k的最大值是3．