2

另解：(1) f x ln x 1 ax x,定义域为 1,

a 2x 1 x 1 12ax2 ax 1 a1

f x a 2x 1 = ,

x 1x 1x 1

当a 0时，f' x

1

0,函数f x 在 1, 为增函数，无极值点. x 1

设g x 2ax2 ax 1 a,

g 1 1, a2 8a 1 a 9a2 8a,

当a 0时，根据二次函数的图象和性质可知,g x 0的根的个数就是函数f x 极值点的个数.

若 a 9a 8 ≤0,即0 a≤时， g x ≥0,f' x ≥0函数在 1, 为增函数，无极值点.

若 a 9a 8 0,即a

89

8

或0 a时,而当0 a时g 1 ≥0此时方程g x 0在9

8a 只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；当时方程g x 0在 1, fx 9

1, 都有两个不相等的实数根，此时函数f x 有两个极值点；

综上所述：当≥a≥0时f x 无极值点；当a 0时f x 只有一个极值点；当a

8

98时9

f x 有两个极值点.

2

(2)设函数f x ln x 1 ax x， x 0,都有f x ≥0成立. 2

即ln x 1 ax x≥0

当x 1时，ln2≥0恒成立； 当x 1时，x x 0,

2

ln x 1

a≥0; 2

x x

ln x 1

a≤0;由 x 0均有ln x 1 x成立.

x2 x

2

当0 x 1时，x x 0,

故当x 1时，

ln x 1 1

0, ,则只需a≥0;

x2 xx 1

ln x 1 1

, 1 ,则需 1 a≤0,即a≤1, 2

x xx 1

当0 x 1时，

综上所述：对于 x 0，都有f x ≥0成立，只需0≤a≤1即可，故a的取值范围是