近代概率论基础第四章作业解答(参考)(8)

高等数学大学课程

g(y)=j(-?

j1y

-

12

e

-

y2

,y>0

即服从自由度为1的c2分布。

而自由度为n的c2分布的特征函数为：

+

f(t)=

ò

e

itx

12

n/2

G()21

+

-n2-

n

x

-

n2

e

-

x2

dx=

2

n/2

1G()2n

ò

+

x

-

n2

e

-

(1-2it)x

2

dx

=(1-2it)

-

n2

x

2

n/2

nG()2

12

ò

x

edx=(1-2it)

2

-

n

.2

因此xi的特征函数为：(1-2it)特征函数为：

(1-2it)

n

2

-

n

，又因为xi(i=1,L,n)相互独立，因此h=

2

å

i=1

xi

2

的

-

12

(1-2it)

-

12

鬃L(1-2it)

-

12

=(1-2it)

-

n2

，

即h=

å

i=1

xi

2

服从自由度为n的c2分布。

设x1服从自由度为n1的c2分布，x2服从自由度为n2的c2分布，且x1与x2相互独立。因为

fx1(t)=(1-2it)

-n12

，fx(t)=(1-2it)

2

-

n22

，

fx+x(t)=(1-2it)

1

2

-

n1+n2

2

因此c分布关于自由度这个参数具有再生性。

2