近代概率论基础第四章作业解答(参考)(6)

高等数学大学课程

g(x+

y)=g(x)

g( y)

这样，类似于引理2.4.1的证明可知：g(s)=as，其中a>1为一常数。最后如果我们令

l=

ss-1

lna>0，则有g(s)=e

l(s-1)

，于是实验次数u服从参数为l的泊松分布。

44．证明：（1）见课件《母函数》那一节。（2）不做要求。

47．证明：“充分性”：设分布函数F(x)的特征函数为f(t)，且f(t)为实的偶函数。根据逆转公式，设x1,x2为F(x)的连续点，则有

12p

T

F(x2)-F(x1)=lim

Tò

1

e

-itx1

-eit

-itx2

f(t)dt

-T

=-lim

T

2p12p

ò

T

e

itx1

-eit

itx2

f(-t)dt

-T

=-lim

Tò

T

e

-it(-x1)

-eit

-it(-x2)

-T

f(t)dt=-[F(-x2)-F(-x1)].

我们让x1沿着F(x)的连续点趋向于+

F(x)=1-F(-x)。

，则有，对F(x)的一切连续点x，有

如果x不是F(x)的连续点，则存在F(x)的连续点列xn，使得xn­x，这样对每一个nÎN，

-F-(xn，) F(xn)=1

最后在上式中令n? ，考虑到分布函数F(x)的左连续性即得F(x)=1-F(-x+0)。

“必要性”：设随机变量x的分布函数F(x)满足F(x)=1-F(-x+0)，且x的特征函数为f(t)。由特征函数的定义

f(t)=

ò

+

-

edF(x)

itx

h=-x的分布函数为

P{h<x}=P{-x<x}=P{x>-x}=1-P{x?

x}=1-F(-x+0)=F(x)，

于是h=-x的特征函数为