近代概率论基础第四章作业解答(参考)(2)

高等数学大学课程

kn (k 1)n

8．解：P{ k} P{ k} P{ k 1} ,k 1,2, ,N， n

N

N

E

k

k 1

k (k 1)

N

n

nn

。

9、证：E

kP{

k 0

k} k[P{ k} P{ k 1}]

k 0

kP{

k 0

k} kP{

k 0

k 1}

k 1

k P{

k}

k 1

(k 1) P{ k}

P{

k 1

k}。

0

0

0

0

10、证：E

xdF(x)

0

xdF(x)

xdF(x)

xdF(x)

xd(1 F(x))

xF(x)

0

F(x)dx x 1 F(x)

1 F(x) dx

由期望存在得

|x|dF(x) ，故

0 AF( A)

A

|x|dF(x) 0(当A )， (当B )

0

0 B(1 F(B))

B

|x|dF(x) 0

以此代入E 的计算式即得 E

1 F(x) dx

F(x)dx。

特别地，如果 只取非负值，则当x 0时，有F(x) 0，故E 另证：因为对任意的 ，有

1 F(x) dx。

( ) 1{ ( ) 0} 故

E ( ) E

0

( )

1 dx 1{ ( ) 0}

( )

1 dx

0

1{ ( ) x}dx

1{ ( ) x}dx

{ ( )x

1

dx E }dx }

{ (x)

1

dx }dx}

x} dx

0 0 0

E1{

( )x

E1

{ (x)

P{ ( ) x}d xF(x)d x

P { ( )

[ 1F(x)] dx

注：第2个等号用到期望和积分交换次序，这是根据Fubini定理。