近代概率论基础第四章作业解答(参考)(4)

高等数学大学课程

15．解：令hi=

xi

x1+x2+L+xn

,i=1,2,L,n，由题意知：Eh1=Eh2=L=Ehn，而

1n

h1+h2+L+hn=1，故由数学期望的线性性质可知：Ehi=

N

，于是结论成立。

16．解：用x记袋中的白球数，则Ex=

由全概公式知所求的的概率为

N

å

k=0

k?P{x

k}=n。

p=

邋P{x=k}?

k=1

kN

1N

N

k?P{x

k=1

k}=

1N

Ex=

nN

.

22．解：因

n

n

n

n

D邋aixi=

i=1

i=1

aiDxi=

2

i=1

aisi，åai=1，

2

2

i=1

可设拉格朗日函数为：

n

n

2i

F(a1,a2,L,an,l)=邋a

i=1

si+l(1-i=1

2

ai)

利用拉格朗日乘数法可解得： l=

2

n

邋s

i=1

1

2i

,ai=

l2si

2

=si

2

1

n

1si

2

i=1

这即为所求。

24．解：不妨设x的密度函数为p(x)，则f(-x)=f(x)于是

Exx=E(1{x?0}x

+

2

。注意到xx=1{x?0}x-1{x

2

0}

x，

2

)-E(1{x

0}

x

2

)=蝌-?

2

+?

1{x?0}xf(x)dx-

2

1{x

0}

xf(x)dx

2

=

蝌

xf(x)dx--

2

xf(x)dx

(或者： Exx=

而

ò

+

-

|x|xf(x)dx=L)

蝌

-?

xf(x)dx=

2

tf(-t)d(-t)=

2

+

xf(x)dx

2

因此 Exx=0。又Ex=

ò

+

xfx(dx)=0，于是Exx=Ex Ex，故x与x不相关。

-

但是，对任意的x>0，有

P(x<x,x<x)=P(x<x)?P(x

x)?P(x

x)

即x与x不相互独立。