近代概率论基础第四章作业解答(参考)(7)

高等数学大学课程

f1(t)=

ò

+

edF(x)=f(t)。

itx

-

而由P226性质6可知： f1(t)=f(-t)，于是对任意的tÎR，有f(-t)=f(t)。 又因为

+?

f(t)=

蝌

edF(x)=

itx

e

-itx

dF(x)=f(-t)=f(t)，

-?

因此f(t)为实的偶函数。

50．解：随机变量x的密度函数为

1

1

2

p(x)=

p1+x

，

于是x和h=x的特征函数均为

+?

fx(t)=fh(t)=

蝌

-?

edF(x)=

itx

1p

e

itx

11+x

2

=

1p

ò

+

costx1+x

2

dx=e-|t|

-

而x+h=2x的密度函数为： q(y)=

y1p?22

12p?

1y

2

2p

(+4y

2

，

)

1+)

2

因此x+h=2x的特征函数为

2p

+?

fx+h(t)=

蝌

-?

e

ity

14+y

=2

2p

costy4+y

2

=e

-2|t|

故 fx+h(t)=fx(t )fh(。t)

但是因为h=x，所以x与h线性相关，故显然不独立。 注：如何求解上面的两个含有参数的广义积分请查阅数学分析书。

2

52．解：因为xi(i=1,L,n)相互独立且服从N(0,1)，因此xi(i=1,L,n)也相互独立，

且xi的密度函数为：j(x)，于是xi的密度函数为：

2