近代概率论基础第四章作业解答(参考)(5)

高等数学大学课程

27．解：不妨设x,h的分布律及联合分布律分别为： P{x=a}=1p,P{x=

b}=1-1

p;Ph{=c}=

2

p,hP{=d=}

， p-12

P(x=a,h=c)=3p,Px(= P(x=b,h=c)=2p-那么

Ex=a1p+

(b1-1

3

ah,=

d)=1p-；p3

。 p d)=1-1p-2p+3

p,Px(=bh,=

p),hE=

c+p2

-(d1

2

； p)

Exh=acp3+ad(p1-p3)+bc(p2-p3)+bd(1-p1-p2+p3).

如果x,h不相关，则有Exh=Ex Eh，即

[ap1+b(1-p1)]?[cp2

d(1-p2)]

=acp3+ad(p1-p3)+bc(p2-p3)+bd(1-p1-p2+p3)。

由上式可解得：p3=p1 p2,于是x与h相互独立。

43．证明：充分性的证明见课件，下面证明必要性。

用x表示“实验次数为u的伯努利实验中的成功的次数”；用h表示“实验次数为u的伯努利实验中的失败的次数”，则

x+h=u。 （1）

ìì1,第i次实验成功；ïï0,第i次实验成功；ï再令 xi=í， hi=ï， 则有 í

ï0，第i次实验失败。ï1，第i次实验失败。ïïîî

x=x1+x2+L+xu，h=h1+h2+L+hu，

且xi,hi的母函数分别为：ps+q和p+qs，其中p+q=1。

我们设u的母函数为g(s)，则由(4.4.13)式可知，x和h的母函数分别为：

g(ps+q)和g(p+qs)。

这样，由（1）可知，对任意的s<1，有：g(ps+q)?g(p

|x|<1,|y|<1，有

qs)=g(s)，于是对任意的