近代概率论基础第四章作业解答(参考)(3)

高等数学大学课程

2

(x a)2(y a)

13．证： 1 2的联合密度为p(x,y) exp ， 22

2 2

∴ Emax( 1, 2)

max(

x,y)p(x,y)dxdy

dx

x

xp(x,y)dy

dx

x

yp(x,y)dy

（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）

dx

x

(x a)p(x,y)dy

dx

x

(y a)p(x,y)dy a

（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）

dy

y

(x a)p(x,y)dx 12

dy

y

(y a)p(x,y)dx a

(x a)2

22

a 2

1

2

(y a)2

2

2

e

dy

y

(x a)edx (令

(y a)

t)

a

e

t

2

dt a

a

.

另证：设 max{ 1 a

2

a

1 a 2 a

,

，则 max{ 1, 2} a。

而和

的分布函数均为： (x)

x

e

x

2

2

dx，又因为 1, 2相互独立，

故 的分布函数应为： 2(x)，于是

E E a

y

2

xd (x) a

x

2

2

2 2

x

x

e

y

2

2

dy e

x

2

2

dx a

e

2

y

x e

2

dxdy a

e

y

2

dy a

a a

14．解：设x的分布函数为F(x)，根据数学期望的定义，注意到f(x)的单调非降性，

可知：对任意的a>0，有

Ef(|x|)=

ò

+

f(|x|)dF(x)³

-

ò

|x|³a

f(|x|)dF(x) 匙f(a)

ò

|x|³a

1dF(x)

=f(a)P{|x| a}.

最后由f(a)>0可知结论成立。