已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA a,OB b，则 AOB叫做向量a与

b的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,b ，显然有 a,b b,a ；若

a,b ，则称a与b互相垂直，记作：a b.

2

9．向量的模：

设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.

10．向量的数量积： a b |a| |b| cos a,b ．

已知向量AB a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A ，

作点B在l上的射影B ，则A B 叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.

可以证明A B 的长度|A B | |AB|cos a,e |a e|．

11．空间向量数量积的性质：

2

（1）a e |a|cos a,e ．（2）a b a b 0．（3）|a| a a．

12．空间向量数量积运算律：

（1）( a) b (a b) a ( b)．（2）a b b a（交换律）（3）a (b c) a b a c

（分配律）．

空间向量的坐标运算

一．知识回顾：

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)，则

a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)

a ( a1, a2, a3)( R)a b a1b1 a2b2 a3b3

a∥b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)

a1a2a3

a b a1b1 a2b2 a3b3 0

b1b2b3

a12 a22 a3

a b

cos a,b

|a| |b|

2

(

)

a1b1 a2b2 a3b3

2a12 a22 a3

b122 b22 b3

②空间两点的距离公式：d (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作a ，如果a 那么向量a叫做平面 的法向量.