设函数y f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点a x0 xn b上的值f(xi) yi(i 0,1, ,n)，若存在一简单函数 (x)，使

(xi) yi(i 0,1, ,n)

成立，就称 (x)为f(x)的插值函数(Interpolating Function)，点

xi(i 0,1, ,n)为插值节点(Interpolation Knot)，包括插值节点的区间[a,b]称为插值区间(Interpolation Interval)，求插值函数 (x)的方法称为插值法(Interpolation Method)。若 n(x)为次数不超过n的代数多项式

n(x) a0 a1x anxn

其中的ai(i 0,1, ,n)为实数，就称 n(x)为插值多项式(Interpolation Ploynomial)，相应的插值法称为多项式插值。若 n(x)为分段的多项式，就称为分段插值(Piecewise Interpolation)。

2. 插值多项式的原理

定理：设函数y f(x)在区间[a,b]上有定义，且在[a,b]上n 1个不同点则存在一个至多n次的插值多x0,x1, ,xn上的函数值yi f(xi)(i 0,1, ,n)，项式

n(x) a0 a1x anxn

通过给定的n 1个点(xi, (xi))(i 0,1, ,n)，其中的ai(i 0,1, ,n)为实数。

事实上，n次多项式(2-2)中有n 1个待定系数ai(i 0,1, ,n)，由插值条件（2-1）可以得到n 1个方程

2n

a0 a1x0 a2x0 anx0 y0 2n

a0 a1x1 a2x1 anx1 y1

(2-3)

2n a0 a1xn a2xn anxn yn

记此方程组的系数矩阵为A，则行列式