f[x0,x1, ,xk]

f[x0,x1, ,xk 1] f[x1,x2, ,xk]

x0 xk

为f(x)关于点x0,x1, ,xk的k阶差商。

6．差商的性质

（1）各阶差商均具有线性性质，即若 [x0,x1, ,xk], [x0,x1, ,xk]分别为

(x), (x)关于点x0,x1, ,xk的k阶差商，且f(x) a (x) b (x)，则有

f[x0,x1, ,xk] a [x0,x1, ,xk] b [x0,x1, ,xk]

（2）k阶差商f[x0,x1, ,xk]可表示成f(x0),f(x1), ,f(xk)的线性组合，即

f[x0,x1, ,xk]

其中的 'n 1(xi) (xi xj)。

j 0

j in

f(xi)

i 0 'k 1(xi)

n

（3）若f(x)是n次多项式，则一阶差商f[x,xj]是n 1次多项式。 7. Newton插值多项式

Nn(x) f(x0) (x x0)f[x,x0] (x x0)(x x1)f[x0,x1,x2]

(x x0)(x x1) (x xn 1)f[x0,x1, ,xn]

称为Newton插值多项式。

插值误差为

Rn(x) (x x0)(x x1) (x xn)f[x,x0,x1, ,xn]

n 1(x)f[x,x0,x1, ,xn]

例2、已知f(x)的函数表如下，求向前差分表，并写出Newton向前插值公式。

解 构造向前差分表的Mathematica程序为：

data1 = {{0.2, 0.56}, {0.4, 0.79}, {0.6, 1.68}, {0.8, 2.54}, {1.0, 2.87}, {1.2, 3.44}}

deltaF[p_] = Module[{myD}, myD[{a1_, a2_}] := a1[[2]] - a2[[2]];