从而具有更好的光滑性。

在传统的学习中，虽然都通过例题对各种插值法进行了分析，但一般都是将这些插值法孤立地进行讲解。虽然可以掌握各种插值法的基本理论，但不能更深层地了解各插值法之间的相互联系及区别。在实际的学习中，若通过一个具有实际背景的问题对不同插值方法进行对比分析，不仅使我们深刻理解各种插值方法，而且能培养我们的数学思想和科研能力。

下面我们以“计算断面面积”为例，对Lagrange 插值法、Newton插值法、Hermite 插值法及三次样条插值法进行对比分析。

1、提出问题

在许多工程建设中，常常会遇到计算断面的面积，如计算土方量及探测矿产储量时，都需要通过断面测量才能实现。图1 中，实测点P1 , P2 , , Pn将地形断面曲线分成n 1段。目前，通常使用的方法是通过插值或逼近来构造出断面的边界曲线，然后再计算断面面积，并对比分析不同插值法的计算结果。

2、分析问题

为了方便地选取插值信息，这里可以选取一条具体的边界曲线作为断面。如采用方程为y = 4 + sin x（x∈[0, 3π]）作为断面的边界曲线，选取的插值信息见表1。

为了进行对比分析，要采用不同类型的三次插值多项式，即三次Lagrange 插值多项式（三次Newton 插值多项式）、两点三次Hermite 插值多项式与三次样条插值多项式来构造边界曲线。其中三次Lagrange 插值多项式（三次Newton插值多项式）由于需要4 个节点，故有2 段曲线，而两点三次Hermite 插值多项式与三次样条插值多项式有6段曲线。

表1 3、解决问题

利用Matlab 软件绘制出的不同类型三次插值曲线（见图2～图4），其中实线部分表示原曲线，虚线部分表示插值曲线。

观察图2~图4 的结果，通过观察可以看出，两点三次Hermite 插值多项式构造边界曲

线的效果最好，其次是三次样条插值多项式，效果最差的是三次Lagrange 插值多项式，即两点三次Hermite插值多项式计算断面面积的精度最高，其次是三次样条插值多项式，精度最差的是三次Lagrange 插值多项式。

为了进一步证实结果的正确性，分别计算利用3 种插值多项式计算出的断面面积，然后将结果进行对比分析，见表2。

表2 三种计算结果的对比分析

由表2 可以看出，两点三次Hermite 插值多项式计算断面面积的误差最小，其次是三次样条插值多项式，误差最大的是三次Lagrange 插值多项式，即所得结论是正确的。

4、总结问题

在学习问题时，我们应该对不同问题进行比较，通过对比着学习，这样不但