2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何(13)

6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1,在等腰直角三

的中点.将 ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE,其中A O

(Ⅰ) 证明:A O 平面BCDE; (Ⅱ) 求二面角A CD B的平面角的余弦值. C

C

图1

B

E

图2

【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得OC 3,AC AD

C H

连结OD,OE,在 OCD中,由余弦定理可得

OD 由翻折不变性可知A D ,

所以A O2 OD2 A D2,所以A O OD, 理可证A O OE, 又OD

OE O,所以A O 平面BCDE.

(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD交CD的延长线于H,连结A H, 因为A O 平面BCDE,所以A H CD, 所以 A HO为二面角A CD B的平面角.

结合图1可知,H为AC中点,故OH

,从而A H 所以cos A HO

OH所以二面角A CD

A H向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz

则A ,C 0, 3,0 ,D 1, 2,0

所以CA

,DA 1, 设n x,y,z 为平面A CD的法向量,则

n CA 0 3y 0 y x,

即 ,

解得 ,令x 1,

得n 1,

z n DA 0 x 2y 0

由(Ⅰ) 知

,OA 为平面CDB的一个法向量,

所以cosn,OA

n OA ,即二面角A CD B的平面角的余弦值 nOA

为

. 7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的

中点.

(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1

的正弦值.

(Ⅲ) 设点M在线段

C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1的长.

, 求线段AM

【答案】