2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何(10)

1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四面体A BCD

中,AD 平面BCD,BC CD,AD 2,BD 22.M是AD的中点,P 是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ 3QC.

(1)证明:PQ//平面BCD;(2)若二面角C BM D的大小为600,求 BDC的大小.

M

B

D

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD的中点F,且M是AD中点,所以

（第20题图）

AF 3FD.因为P是BM中点,所以PF//BD;又因为(Ⅰ)AQ 3QC且AF 3FD,

所以QF//BD,所以面PQF//面BDC,且PQ 面BDC,所以PQ//面BDC

;

1

MD;取CD的三等分211

点H,使DH 3CH,且AQ 3QC,所以QH//AD//MD,所以

42

方法二:如图7所示,取BD中点O,且P是BM中点,所以PO//

PO//QH PQ//OH,且OH BCD,所以PQ//面BDC;

(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB 面BDC,过C作CG BD于G,所以

CG BMD,

过G作GH BM于H,连接CH,所以 CHG就是C BM D的二面角;

由已知得到BM

3,设 BDC ,所以

CDCGCB

cos ,sin CD ,CG

sin ,BC ,BDCDBD

,

在RT BCG中, BCG sin

BG

BG

2

,所以在RT BHG中

, BC

1所以在RT CHG中 HG 3