2.2.4 点到直线的距离(4)

[点拨] 本题的外形是代数问题，通过建立x 2y 1与直线AB、x2 y2与线段OP的对应关系，使代数的抽象获得了几何的形象，这就是数形结合思想的具体体现．

母题迁移 3．已知在△ABC中，A(1,1),B(m,m),(1 m 4)C(4,2),求m为何值时，△ABC的面积S最大。

考点4 对称问题

命题规律

两直线关于点P(a，b)中心对称，求其中一条直线的方程，或求两平行直线的对称中心的轨迹．

[例5] 求直线y 4x 1关于点M(2，3)对称的直线方程．

[解析] 若两条直线关于定点M对称，则其中一条直线上的任意一点关于M的对称点在另一条直线上．运用中点坐标公式，可用两个对称点中的一点的坐标表示出另一个点的坐标，这是思路一．

由中心对称的定义可知，若两条直线关于定点M对称，则它们是一对与定点M的距离相等的直线，运用两平行线的斜率相等及点到直线的距离公式，即可求出所求直线的方程，这是思路 二．

根据两点确定一条直线，在已知直线上任取两个点，求出这两个点关于M的对称点，进而求出所求直线的方程，这是思路三．

[答案] 解法一：设P（x，y）是所求直线上的任意一点，Q(x0,y0)为P点关于M(2，3)的对称点，

x0 x 2, x0 4 x, 2则p点在直线y 4x 1上，即y0 4x0 1,且 解得 y 6 y 0 y0 y 3, 2

代入y0 4x0 1,得6 y 4(4 x) 1.

∴ 所求直线的方程为4x y 21 0.

解法二：将已知直线的方程y 4x 1化为4x y 1 0.

由题意可知，所求直线与已知直线平行，且点M(2，3)到两直线的距离相等．

设所求直线的方程为4x y C 0,则

|4 2 3 C|

4 122 |4 2. 3 1|4 12,整理得|C 11| 10.

解得C 21或C 1（舍去）．

∴ 所求直线的方程为4x y 21 0.

解法三：在已知直线上取两个点(0，1)、（1，-3），则

(0，1)关于(2，3)的对称点为(4，5)，（1，-3）关于(2，3)的对称点为(3，9).

过点(4，5)、(3，9)的直线方程为

y 5x 4 ,即4x y 21 0, 9 53 4

∴ 所求直线的方程为4x y 21 0.

[点拨] 解法一是代入法，是求轨迹方程的常用方法，具有普遍意义．本题给出了求直线关于定点的对称直线方程的三种基本解法，关键是中心对称图形对称条件的运用．

母题迁移 4．已知直线l:y 3x 3,求：

(1)点P(4，5)关于L的对称点坐标；

(2)直线y x 2关于L的对称直线的方程；

(3)直线L关于点A(3，2)的对称直线的方程．

优化分层测讯

学业水平测试

1．已知点(3，m)到直线x y 4 0的距离等于1，则m等于( )

3A. B. C. D.3或

2．点P在直线x y 4 0上，O为坐标原点，则| OP|的最小值是( )．

A B.22 C.6 D.2

3．到直线3x 4y 1 0的距离为2的点的轨迹方程是( )．

A.3x 4y 11 0 B.3x 4y 11 0

C.3x 4y 11 0或3x 4y 9 0

D.3x 4y 11 0或3x 4y 9 0

4．过点A（-3，1）的直线中，与原点距离最近的直线方程是

5．两平行直线l1:3x 4y 5 0,l2:6x 8y 15 0,则这两条平行线间的距离为