2.2.4 点到直线的距离(3)

5x 12y 32 0或5x 12y 20 0.

[点拨] 本题还可利用两条平行直线5x 12y 6 0和5x 12y C 0的距离为2这一条件，结合两条平行线之间的距离公式求出C，亦可获解．

母题迁移 2．在△ABC中，A(3,3),B（2, 2),C( 7,1),求∠A的平分线AD所在直线的方程． 考点3 最值问题

命题规律

(1)已知直线方程，求目标函数z (x a)2 (y b)2的最小值．

(2)求过定点的直线到另一定点的距离最远的直线方程．

[例3] 两条互相平行的直线分别过点A(6,2).、B( 3, 1),并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．

(1)求d的变化范围；

(2)求当d取最大值时，两条直线的方程．

[答案] (1)设两条平行直线的斜率为k，则两直线的方程分别为l1:y 2 k(x 6),l2:y 1 k(x 3).

即kx y 6k 2 0,l2:kx y 3k 1 0.

d |3k 1 6k 2|

k 12 3|3k 1|k 12,整理得：

(81 d2)k2 54k 9 d2 0,

由k R,知 542 4 (81 d2)(9 d2) 0 0 d .

(2)当k不存在时，两直线方程分别为x 6和x 3,其距离为9．而9 3,所以dmax , 且当d 时，k 3,此时直线l1、l2的方程分别为3x y 20 0和3x y 10 0.

22[例4] 设x 2y 1,求x y的最小值．

22[答案] 如图2-2-4-1，方程x 2y 1表示直线AB的方程，x y表示原点O与直线AB上的点

2P(x，y)的距离的平方即|OP|.

显然，当OP⊥AB，即P与图中的C点重合时，x y取得最小值． 22

|OC| | 1|

222 1,

1 5

x2 y2的最小值是|OC|2